direkt zum Inhalt springen

direkt zum Hauptnavigationsmenü

Sie sind hier

TU Berlin

Inhalt des Dokuments

Was ist Mathematik?

Dietrich Marsal, Universität Stuttgart

Summary. The article introduces the reader to the following papers by discussing the question, "What is mathematics?", from different points of view. What is mathematics to the layman and what does the pure and the applied mathematician think about it? Does mathematics continue to be the science of numbers? Why does mathematics appear to be so difficult? Is the mathematician a monomaniac? Why do mathematicians often dislike the views of philosophers about mathematics? The reproach of physicists and engineers that mathematics is inadequate for them because of exaggerated exactness motivates various conceptions of mathematical rigor and suggests a distinction of the mathematics of the mathematician from the mathematics of the logician. Despite all such efforts, the question, "What is mathematics?", cannot be answered to complete satisfaction.

Zusammenfassung. Der Artikel führt den Leser mit einer Diskussion der Frage "Was ist Mathematik?" in die folgenden Arbeiten ein. Was ist Mathematik für den Laien, und was denkt der Reine und Angewandte Mathematiker darüber? Ist Mathematik noch die Wissenschaft von den Zahlen? Warum ist Mathematik schwierig? Ist der Mathematiker Monomane? Warum lehnen Mathematiker oft Ansichten der Philosophen über Mathematik ab? Die Klage von Physikern und Ingenieuren über die unnötig große Strenge der Mathematik führt zu den Strenge-Begriffen der modernen Mathematik und schließlich zu der Mathematik des Mathematikers und der Mathematik des Logikers. Trotz aller Anstrengungen bleibt jedoch die Ausgangsfrage zum Teil ungelöst und nicht eindeutig beantwortbar.

Nach oben

Zeichen, Zahl und Sein: Semiotik als ontologische Rahmentheorie der Mathematik

Jorge Bogarin, Universität Stuttgart

Summary. It is not through the solution of special problems, but through the clarification of the theoretical foundations that semiotics can contribute to mathematics. It can provide a system of coordinates or a framework in which ontological implications and questions about contexts of justification and new paradigms can be intelligibly discussed. The present paper uses Peircean semiotics to show how such a theoretical framework could be.

Zusammenfassung. Nicht in der Lösung konkreter, fachspezifischer Probleme, sondern in der Klärung der Grundlagenprobleme ist ein Beitrag der Semiotik zur Mathematik zu erwarten. Die Semiotik kann als Koordinatensystem oder Rahmentheorie fungieren, in der sich Fragen nach den ontologischen Implikationen und den Begründungszusammenhängen der Mathematik sowie nach der Möglichkeit neuer Paradigmen sinnvoll stellen lassen. Dieser Aufsatz zeigt anhand der Peirceschen Semiotik, wie eine solche Rahmentheorie aussehen könnte.

Nach oben

Semiotik und die Grundlagen der Mathematik

Cornelie Leopold, Universität Kaiserslautern

Summary. The discussion of the foundations of mathematics is characterized by differing attitudes towards the ontological nature of mathematical objects and by contrasting epistemological positions. With the aid of semiotics the conception of mathematics as a science based on signs leads to a new basis in the discussion of foundations. Ontological aspects of mathematical entities can be considered within mathematical thinking. The relation of mathematical entities to reality can be interpreted as being mediated through signs. The various positions concerning the foundations of mathematics turn out to be based on reductions of the triadic sign-conception to certain dyadic or monadic aspects of it.

Zusammenfassung. Der Grundlagenstreit der Mathematik ist gekennzeichnet durch unterschiedliche Positionen zum ontologischen Status mathematischer Gegenstände und durch verschiedene epistemologische Standpunkte. Durch die Auffassung der Mathematik als zeichengestützte Wissenschaft kann mit Hilfe der Semiotik die Grundlagendiskussion auf eine neue Basis gestellt werden. Ontologische Bezüge und Denkweisen können in die Mathematik miteinbezogen werden. Das Realitätsverhältnis kann als ein durch Zeichen vermitteltes erfaßt werden. Die verschiedenen Positionen zur Grundlegung der Mathematik erweisen sich als Reduktionen des triadischen Zeichenbegriffs auf unterschiedliche dyadische oder monadische Teilaspekte des Zeichens.

Nach oben

Ein Aufbau der Mathematik aus acht Zeichen

Dietrich Marsal, Universität Stuttgart

Summary. Mathematics is embedded in the language of every-day discourse. But every attempt to define all expressions of that language results in a circle. Thus, there is a striking difference between the formal rigor of mathematics and the uncertainty of its sign-theoretic basis. To close this gap, a "Begriffs-Schrift" (concept script) is presented to reconstruct contemporary mathematics from eight signs that can be introduced without circularity. After a discussion of the theoretical foundations and of prerequisite logical notions, central concepts from topics such as sets, relations, mappings, partial orderings, cardinal numbers, algebras and topological space are defined.

Zusammenfassung. Die Mathematik ist eingebettet in die Sprache der Alltagskommunikation. Versucht man aber, alle Ausdrücke einer Sprache zu definieren, so gerät man in einen Zirkel. Es besteht daher ein auffallender Gegensatz zwischen der formalen Strenge der Mathematik und der Ungesichertheit ihrer zeichentheoretischen Wurzeln. Um diese Lücke zu schließen, wird mit einer Begriffsschrift die zeitgenössische Mathematik aus acht Zeichen rekonstruiert, die auf nichtzirkuläre Weise eingeführt werden. Nach der Diskussion der theoretischen Grundlagen und der logischen Vorbegriffe werden zentrale Konzepte aus dem Bereich der Mengen, Relationen, Abbildungen, Teilordnungen, Kardinalzahlen, Algebren und topologischen Räume definiert.

Nach oben

Syntaktik und Semantik in der Arithmetik und die Schranken künstlicher Intelligenz

Pirmin Stekeler-Weithofer, Universität Konstanz

Summary. From a mathematical point of view, the difference between syntactics and formal semantics corresponds to the distinction between effective procedure and general function. An analysis of this difference reveals principal limits of artificial intelligence: The output of a procedural system consists essentially in classifying figures into derivable and non-derivable ones. In non-trivial cases, this output cannot be studied with purely procedural means nor by a merely empirical investigation of input-output behavior. Full mathematical intelligence, hence, is far beyond the reach of computers.

Zusammenfassung. Die Differenz zwischen Syntaktik und formaler Semantik entspricht mathematisch gesehen der Unterscheidung zwischen dem Begriff der schematischen Prozedur und dem der Funktion. Ihre genaue Analyse zeigt grundsätzliche Schranken für jede künstliche Intelligenz. Die wesentliche Eigenschaft eines prozeduralen Systems ist die Einteilung der Figuren in herleitbare und nicht herleitbare. Diese kann im nichttrivialen Fall nicht rein prozedural untersucht werden, geschweige denn durch eine bloß empirische Betrachtung des Input-Output-Verhaltens. Schon die mathematische Intelligenz ist daher weit außerhalb der Reichweite einer Rechenmaschine.

Nach oben

Zur Logik und Semiotik der neuzeitlichen Mathematik: Der Tractatus der "Regulae" von Descartes

Wilhelm F. Niebel, Universität Frankfurt am Main

Summary. Stimulated by the 350th anniversary of Descartes’ "First Philosophy", this article presents a Cartesian text on the history of mathematics and philosophy that has not yet been considered, namely, Descartes’ early Tractatus of the "Regulae" (1628/29), the second book of which must be considered to be a basic logico-semiotic document for modern mathematical science. By using characters in a non-(or post-)phonetic way, Descartes here introduced the modern "Characteristica" or "term-script" which was to become the formal language of pure mathematics. The significance of this text becomes evident in the fact that, 250 years later, Frege took over the Cartesian mathematical innovations (e.g., the syntactic concept of a function and the operational-constructivist concept of a sign) and applied them to logic in his Begriffsschrift as a Formal Language of Pure Thinking of 1879. Given that Frege is regarded the founder of mathematical logic, the present article advocates considering Descartes the Frege of mathematics.

Zusammenfassung. Absicht dieses Beitrags ist es, im Descartes-Jahr 1991 einen bisher unbeachtet gebliebenen Text der Mathematik- und Philosophiegeschichte vorzustellen: den frühen Cartesianischen Tractatus der "Regulae" von 1628/29, der als logisch-semiotische Gründungsurkunde der modernen mathematischen Wissenschaft angesehen werden kann. Hier hat Descartes mit der Einführung des nicht-(bzw. post-)phonetischen Schrift-Zeichen-Gebrauchs im Liber secundus die neuzeitliche Charakteristik oder Term-Schrift als formale Sprache der reinen Mathematik etabliert. Die Rolle des Cartesianischen Tractatus zeigt sich unter anderem darin, daß Frege die von Descartes in die reine Mathematik eingeführten Innovationen (wie etwa das syntaktische Funktionskonzept oder den operativistisch-konstruktivistischen Zeichenbegriff) genau 250 Jahre später in seiner Begriffsschrift als Formalsprache des reinen Denkens von 1879 rezipiert und auf die Logik appliziert. Da Frege nicht zuletzt dadurch zum Begründer der mathematischen Logik geworden ist, wird im vorliegenden Beitrag dafür plädiert, den frühen Descartes seinerseits als Frege der Mathematik anzusprechen.

Nach oben

Termini, Symbole und Zeichen: Zur Entwicklung der Algebra und ihrer Notation zwischen dem 13. und 18. Jahrhundert

Hans G. Knapp, Universität Graz

Summary. As is shown in this contribution, the development of algebra and its notation between the 13th and 18th centuries corresponds to changes in the conditions of the way of life and in the ontological assumptions of this period: For the craftsmen, mathematical thinking consists in the manipulation of "termini", for the merchant in a mutually compatible ordering of "things", and for the scientist in the derivation of "ideas". Accordingly, in the transition from predominantly craft-oriented thinking to commercial and scientific thinking, the "termini" are first replaced by the symbol aggregates of the "coss" and then by the signs of modern formal language.

Zusammenfassung. Wie der Beitrag zeigt, entspricht die Entwicklung der Algebra und ihrer Notationsweisen zwischen dem 13. und 18. Jahrhundert einem Wandel der lebensweltlichen Bedingungen und der ontologischen Auffassungen: Mathematisches Denken besteht für den Handwerker im Manipulieren von "Termini", für den Kaufmann in der gegenseitig kompatiblen Anordnung von "Dingen" und für den Wissenschaftler in der Ableitung von "Ideen". Im Einklang damit werden beim Übergang von vorwiegend handwerklichem zu kaufmännischem und zu wissenschaftlichem Denken in der Mathematik die Termini zunächst durch die Symbolaggregate der "Coss" und diese dann durch die Zeichen der modernen Formelsprache abgelöst.

Nach oben

Analyse: Computersemiotik

Udo L. Figge, Ruhr-Universität Bochum

Summary. A new branch of semiotics is outlined under the designation "computational semiotics". It seems likely to become an important field of research having interesting applications. Computational semiotics can be regarded as a generalization of computational linguistics. It can draw important ideas from software ergonomics. Its main tasks are the analysis and the systematization of human-computer interaction, giving special consideration to the various manifestations of the inner states of computational systems as well as to the various ways of influencing these inner states by manipulating peripheral devices. Three types of attitudes towards computers are distinguished: taking 1. the computer as a tool, 2. the computer as a partner, 3. the computer as a modeler of reality. Means of interaction mentioned are, above all, formal languages, natural language and graphic techniques.

Zusammenfassung. Unter dem Namen "Computersemiotik" wird eine neue Unterdisziplin der Semiotik skizziert, die ein wichtiger Forschungsbereich mit interessanten Anwendungen zu werden verspricht. Sie läßt sich als eine Verallgemeinerung der Computerlinguistik betrachten und kann wichtige Anregungen von der Software-Ergonomie beziehen. Ihre Hauptaufgaben sind Analyse und Systematisierung der Mensch-Maschine-Interaktion unter den Aspekten der Manifestation innerer Zustände von Computersystemen und der Beeinflussung dieser inneren Zustände durch Manipulation von Peripherie-Geräten. Es wird zwischen drei Arten von Einstellungen zu Computern unterschieden: 1. Computer als Arbeitsinstrument, 2. Computer als Partner, 3. Computer als Modellierer von Wirklichkeit. Als Interaktionsmittel werden vor allem formal-sprachliche, natürlich-sprachliche und graphische Verfahren genannt.

Nach oben

Literaturbericht: Konzept-Kunst: Analysen, Hintergründe, Bedeutung

Katharina Kaspers, Universität München

Summary. When in 1913 Marcel Duchamp declared his Readymades to be art, he questioned the fundamental agreement, that art can be objectively defined by its spiritual substance and relationship to reality or by the employed techniques and intentions. As a consequence, art turned away from portraying the environment and concentrated on representing a spiritual substance which the spectator could no longer comprehend by merely looking at the artistic object. The goal of Concept-Art was to eliminate the object totally. The artists presented their intentions through instructions, which were declared to be art, and left it up to the recipient to construct the object in accordance with them. While the intention to cancel the distance between the artist and the public failed because of the required amount of intellectual effort and capacity of empathy, the documentary value of Concept-Art remains: We understand not only the role that intellect and abstraction play in contemporary art, but also the necessity for visual concreteness, for reverting to a visual language that conforms to the general principles of semiotics.

Zusammenfassung. Als Marcel Duchamp 1913 seine Readymades zur Kunst erklärte, stellte er die Grundvereinbarung in Frage, daß Kunst aufgrund ihres geistigen Gehalts und Verhältnisses zur Wirklichkeit bzw. durch angewandte Techniken und Intentionen objektiv definierbar sei. In der Folge löste sich das Kunstschaffen von der Darstellung der umgebenden Realität ab und konzentrierte sich auf die Wiedergabe geistiger Gehalte, die durch Anschauung des Objekts allein nicht mehr erfaßt werden können. Die Konzept-Kunst strebte an, das Objekt vollständig zu eliminieren. Sie präsentierte ihre Intentionen durch ­ zum Kunstwerk erklärte ­ Anweisungen und überließ es dem Rezipienten, nach diesen das Objekt auszuführen. Obwohl das hierfür benötigte Maß an intellektuellem Aufwand und Einfühlungsvermögen die Absicht, die Distanz zwischen Künstler und Publikum aufzuheben, scheitern ließ, bleibt der Dokumentationswert der Konzept-Kunst bestehen. Deutlich wird zum einen die Rolle, die Abstraktion und Intellektualität für die zeitgenössische Kunst spielen, zum anderen die Notwendigkeit visueller Anschaulichkeit entsprechend den allgemeinen Prinzipien einer Semiotik des Bildes.

Nach oben

Dokumentation: Geldzeichen: Zur Einführung neuer Banknoten in Deutschland

Gerhard Komar, München

Summary. In the third stage of its evolution, money as a general means of communication makes use of paper as its sign matter in order to represent the values of a national currency. The relation of monetary signs to their objects is established through numbers and is valid as long as the currency community guarantees the cash value. With regard to the sign matter, the optical, acoustical and tactile properties of money are diligently planned. The introduction of new monetary sign carriers is far from arbitrary, requiring the joint functioning of icons, indices and symbols as well as various security measures. The articles gives a detailed description of the newly issued German bank notes of 1990 and 1991. It emphasizes the difficulty of overcoming habituation to old monetary signs and of guaranteeing long term security against forgery.

Zusammenfassung. Geld als allgemeines Verständigungsmittel bedient sich auf seiner dritten Entwicklungsstufe des Papiers als Zeichenmaterie, um die Teilwerte einer nationalen Währung zu repräsentieren. Der durch Zahlen hergestellte Objektbezug des Geldzeichens ist so lange gegeben, wie die Währungsgemeinschaft den Geldwert garantiert. Was den Mittelbezug betrifft, so werden die optischen, akustischen und taktilen Merkmale von Geldzeichen sorgfältig geplant. Die Einführung neuer Geldzeichen ist weit von Arbitrarität entfernt; sie erfordert aufeinander abgestimmtes Funktionieren von Abbild, Hinweis und Symbol sowie eine Reihe von Sicherheitsvorkehrungen. Der Beitrag liefert eine ausführliche Beschreibung der neu geschaffenen deutschen Banknoten der Jahre 1990 und 1991. Er hebt hervor, wie schwierig es ist, einerseits der für das Funktionieren des Geldzeichensystems nötigen Habitualisierung durch neue Geldzeichen-Emissionen entgegenzutreten, andererseits bei seit langem geltenden Geldzeichen die Sicherheit auf Dauer zu gewährleisten.

Nach oben

Über die Herkunft des Dollarzeichens

Christian Weyers, Universität Trier

Summary. This contribution discusses the current hypotheses on the origin of the dollar sign ($). It shows the untenability of the assumptions that the dollar sign developed from one of the denotations US for "United States", ps for "pesos", lb for "pounds", ( for "dollars" or 8/ for "8 shillings" and also rules out as a possible origin the columns of Hercules depicted on Spanish 8-real-pieces of the 17th century. Instead, arguments are given for the development of the dollar sign out of the cifrão, a sign used in Portuguese measurement expressions for the separation of numeral expressions of different denominations.

Zusammenfassung. Der Beitrag untersucht die gängigen Hypothesen zur Entstehung des Dollarzeichens ($). Er zeigt die Unhaltbarkeit der Annahmen, das Dollarzeichen habe sich entwickelt aus der Bezeichnung US für "United States", ps für "pesos", lb für "pounds", ( für "dollars" oder 8/ für "8 shillings", und weist nach, daß auch die oft behauptete Herkunft aus der Darstellung der Säulen des Herkules auf den spanischen Acht-Real-Stücken des 17. Jahrhunderts unwahrscheinlich ist. Stattdessen werden Argumente angeführt für die Entwicklung des Dollars aus dem Cifrão, der im portugiesischen Sprachbereich als Zeichen zur Abgrenzung von Maßangaben verschiedener Denomination benutzt wurde.

Nach oben

Rückblick: Funktion, Information und Abbild: Zur Geschichte der Semiotik in der DDR

Michael Franz, Akademie der Wissenschaften zu Berlin

Summary. This contribution gives a survey of the most relevant semiotic developments which occured in the German Democratic Republic during the forty years of its existence. Pointing out the importance of classical authors such as Marx and Hegel as well as Peirce and Morris, the article deals with the controversies about the concepts of function, information and mirror image and discusses the logically oriented semiotics of Georg Klaus, the historically based philosophy of language of Erhard Albrecht, the biosemiotics of Günter Tembrock, the structuralist semiotics of Wolfgang Steinitz and his students Manfred Bierwisch, Ewald Lang, and Wolfdietrich Hartung as well as the semiotics of cultural history developed in the Winckelmann Circle of the Berlin Humboldt University, which included, besides Ewald Lang, Wolfgang Schindler, Christian Kaden, Michael Franz and others. Continuing attention is deserved by the studies on the relationship of syntactic structure, meaning, and function in artefacts of animals and men, on the relation between text and context, on the comparison of the interpretation procedures in the various arts, and on the evolutionary principles of culture.

Zusammenfassung. Der Beitrag liefert einen Überblick über die wichtigsten zeichentheoretischen Ansätze, die während der 40jährigen Existenz der Deutschen Demokratischen Republik entwickelt worden sind. Er nennt die Anküpfungspunkte bei Marx und Hegel sowie Peirce und Morris, behandelt die Kontroversen um die Begriffe der Funktion, der Information und des Abbildes und setzt sich auseinander mit der logikorientierten Semiotik von Georg Klaus, der historisch fundierten Sprachphilosophie von Erhard Albrecht, der Biosemiotik von Günter Tembrock, der strukturalistischen Semiotik von Wolfgang Steinitz und seinen Schülern Manfred Bierwisch, Ewald Lang und Wolfdietrich Hartung sowie der kulturgeschichtlichen Semiotik im Winckelmann-Kreis der Berliner Humboldt-Universität, zu dem neben Ewald Lang auch Wolfgang Schindler, Christian Kaden, Michael Franz u.a. gehörten. Als zukunftsweisend erscheinen die Untersuchungen zum Verhältnis von syntaktischer Struktur, Bedeutung und Funktion in den Artefakten von Tieren und Menschen, zum Verhältnis von Text und Kontext, zum Vergleich der Interpretationsverfahren in den verschiedenen Künsten und zu den Entwicklungsprinzipien der Kulturgeschichte.

Nach oben

Zusatzinformationen / Extras

Direktzugang

Schnellnavigation zur Seite über Nummerneingabe